Materi Bilangan

A. Pengertian Bilangan

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks. Bilangan adalah suatu ide yang bersifat abstrak yang akan memberikan keterangan mengenai banyaknya suatu kumpulan benda. Lambang bilangan biasa dinotasikan dalam bentuk tulisan sebagai angka. Prosedur-prosedur tertentu yang mengambil bilangan sebagai masukan dan menghasil bilangan lainnya sebagai keluran, disebut sebagai operasi numeris. Operasi uner mengambil satu masukan bilangan dan menghasilkan satu keluaran bilangan. Operasi yang lebih umumnya ditemukan adalah operasi biner, yang mengambil dua bilangan sebagai masukan dan menghasilkan satu bilangan sebagai keluaran. Contoh operasi biner adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan perakaran. Bidang matematika yang mengkaji operasi numeris disebut sebagai aritmetika.

Bilangan Kompleks.

Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan real dan bilangan imajiner atau bilangan yang berbentuk a + bi.

Dimana a dan b adalah bilangan real, dan i adalah bilangan imajiner tertentu. Bilangan real a disebut juga bagian real dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

Contoh :

{3 + 2i}

Jadi bilangan kompleks adalah bilangan yang anggota-anggotanya (a+bi) dimana a, b ϵ R, i2 = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.

Contoh: 2-3i, 8+2

Bilangan Imajiner

Bilangan imajiner adalah bilangan i (satuan imajiner) dimana i adalah lambang bilangan baru yang bersifat i2 = -1. Bilangan imajiner merupakan bilangan yang mempunyai sifat i² = −1. Bilangan ini merupakan bagian dari bilangan kompleks. Secara definisi, bilangan imajiner i ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik : 

  x² + 1 = 0

atau secara ekuivalen 

  x² = -1

atau juga sering dituliskan sebagai

  x = √-1

Contoh: i, 4i, 5i

Bilangan Real

Bilangan real atau bilangan riil menyatakan bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk decimal, seperti 2,86547… atau 3.328184. Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik “.”. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irrasional, seperti π dan √2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.

Himpunan semua bilangan real dalam matematika dilambangkan dengan R (berasal dari kata “real”).

Contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3

Bilangan Irrasional

Dalam matematika, bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional. Contoh yang paling populer dari bilangan irasional ini adalah bilangan π, , dan bilangan e.

Bilangan π sebetulnya tidak tepat, yaitu kurang lebih 3.14, tetapi

= 3,1415926535.... atau

= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...

Untuk bilangan :

= 1,4142135623730950488016887242096.... atau

= 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798..

dan untuk bilangan e:

= 2,7182818....

Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai  p/q dimana p,q ϵ bulat dan q ≠ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu bilangan desimal secara berulang ulang. Bilangan rasional juga merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b dimana a, b bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0. dimana batasan dari bilangan rasional adalah mulai dari selanga (-∞, ∞).

Bilangan bisa dikatakan dapat dibagi menjadi 2 sekup besar yaitu bilangan rasional dan bilangan irasional. Bila kita mengatakan bilangan rasional berarti di dalamnya sudah mencakup bilangan-bilangan lain seperti: bilangan bulat, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima dan bilangan-bilangan lain yang menjadi subset dari bilangan rasional.
Contoh dari bilangan rasional:

Jika a/b = c/d maka, ad = bc.

Bilangan rasional juga merupakan bilangan-bilangan yang merupakan rasio (pembagian) dari dua angka (integer) atau dapat dinyatakan dengan a/b, dimana a merupakan himpunan bilangan bulat dan b merupakan himpunan bilangan bulat tetapi tidak sama dengan nol.

Contoh :

{½, ⅓, ⅔, ⅛, ⅜, ⅝, ⅞, ...}

Bilangan pecahan/ pecahan-pecahan termasuk sekumpulan bilangan rasional.

Pecahan desimal adalah pecahan-pecahan dengan bilangan penyebut 10, 100, dst. { 1/10, 1/100, 1/1000 }, semua bilangan ini dapat ditemukan dalam garis-garis bilangan.

Sebuah bilangan asli dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan rasional. Sebagai contoh bilangan asli  2 dapat dinyatakan sebagai 12/6 atau 30/15 dan sebagainya.

Bilangan  Rasional  diberi lambang Q (berasal dari bahasa Inggris “quotient”).
Contoh: -2,2/7,5,2/11,….

  Bilangan Cacah

Bilangan cacah yaitu bilangan yang dimulai dari angka 0 (nol) sampai tak terhingga, yaitu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., dan seterusnya.

 Bilangan Asli

Bilangan Asli yaitu bilangan yang dimulai dari angka 1 (satu) sampai tak terhingga, yaitu: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., dan seterusnya.

 Bilangan Prima

Bilangan Prima yaitu bilangan asli yang tepat mempunyai 2 faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri, yaitu: 2, 3, 5, 7, 11, 13,  ..., dan seterusnya.

Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan yang disajikan/ ditampilkan dalam bentuk a/b; dimana a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.

A disebut pembilang dan B disebut penyebut.

Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai p/q, dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠0. Bilangan p disebut pembilang dan bilangan q disebut penyebut. Pecahan dapat dikatakan senilai apabila pecahan tersebut mempuyai nilai atau bentuk paling sederhana sama.

Contoh:
5/7; 5 dikatakan sebagai pembilang dan 7 dikatakan sebagai penyebut
10/45; 10 dikatakan sebagai pembilang dan 45 dikatakan sebagai penyebut

Berikut ini merupakan jenis-jenis pecahan:

1) Pecahan Biasa

Yaitu pecahan dengan pembilang dan penyebutnya merupakan bilangan bulat

Contoh:

1/4 , 2/5 , 9/10

2) Pecahan Murni

Yaitu pecahan yang pembilang dan penyebutnya merupakan bilangan bulat dan berlaku pembilang kurang atau lebih kecil dari penyebut. Pecahan murnai dapat dikatakan sebagai pecahan biasa tetapi pecahan biasa belum tentu dapat dikatakan sebagai pecahan murni

Contoh:

1/6 , 3/5, 7/15

3) Pecahan campuran

Pecahan yang terdiri atas bagian bilangan bulat dan bagian pecahan murni

Contoh:

3 ½, 4 ½, 5 ¾,

4) Pecahan desimal

Yaitu pecahan dengan penyebut 10, 100, 1000, dan seterusnya, dan ditulis dengan tanda koma,

Contoh:

0,4; 4,6; 9,2

5) Persen atau perseratus

 pecahan dengan penyebut 100 dan dilambangkan dengan %

Contoh:

4% artinya 4/100

35% artinya 35/100

6) Permil atau perseribu

Yaitu pecahan dengan penyebut 1.000 dan dilambangkan dengan%₀

Contoh:

8%₀ artinya 8/1000

125%₀ artinya 125/1000.

Bilangan Bulat

1. Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif.

2. Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat:

a. Sifat tertutup

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga bilangan bulat.

b. Sifat komutatif

            Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.

c. Sifat asosiatif

            Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku (a + b) + c = a + (b + c).

d. Mempunyai unsur identitas

Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a. Bilangan nol (0) merupakan unsur identitas pada penjumlahan.

e. Mempunyai invers

Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku a + (–a) = (–a) + a = 0. Invers dari a adalah –a, sedangkan invers dari –a adalah a.

3. Jika a dan b bilangan bulat maka berlaku a – b = a + (–b).

4. Operasi pengurangan pada bilangan bulat berlaku sifat tertutup.

5. Jika p dan q bilangan bulat maka

a. p x q = pq;

b. (–p) x q = –(p x q) = –pq;

c. p x (–q) = –(p x  q) = –pq;

d. (–p) x (–q) = p x  q = pq.

6. Untuk setiap p, q, dan r bilangan bulat berlaku sifat

a. tertutup terhadap operasi perkalian;

b. komutatif: p x q = q x p;

c. asosiatif: (p x q) x r = p x (q x  r);

d. distributif perkalian terhadap penjumlahan: p x (q + r) = (p x q) + (p x  r);

e. distributif perkalian terhadap pengurangan: p x (q – r) = (p x q) – (p x  r).

7. Unsur identitas pada perkalian adalah 1, sehingga untuk setiap bilangan bulat p berlaku p x 1 = 1 x p = p.

8. Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian.

9. Pada operasi pembagian bilangan bulat tidak bersifat tertutup.

10. Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat tidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung berikut.

a. Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.

b. Operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.

c. Operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) lebih kuat daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–), artinya operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–).

Jadi bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari seluruh bilangan baik negatif, nol dan positif.
Contoh: -3,-2,-1,0,1,2,3,….

#Bilangan Negatif

Bilangan negatif (integer negatif) adalah bilangan yang lebih kecil/ kurang dari nol. Atau juga bisa dikatakan bilangan yang letaknya disebelah kiri nol pada garis bilangan.

Contoh :

{-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, ...}

Sejarah

Bilangan adalah bilangan irasional.

Menurut sejarah, penemu bilangan irasional adalah Hippasus dari Metapontum (ca. 500 SM). Sayangnya, penemuannya tersebut justru menyebabkan ia dihukum mati oleh Pythagoras karena dianggap penganut ajaran sesat.
Dalam doctorate in Absentia-nya di tahun 1799, A new proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree, Gauss memberikan bukti teorema fundamental aljabar yang menyatakan bahwa setiap-tiap dari polinomial variabel tunggal bukan-konstanta dengan koefisien kompleks memiliki paling sedikit atau setidaknya satu akar kompleks. Namun banyak matematikawan termasuk Jean le Rond d'Alembert yang memberikan bukti yang salah pada awalnya,dan disertasi Gauss juga banyak mengkritik kerja d'Alembert.
Namun sekali lagi, ironisnya, dengan menggunakan standar sekarang percobaan milik Gauss tidak dapat diterima, yang menyebabkan penggunaan secara implisit teorema Kurva Jordan di dalam kurva fraktal. Bagaimanapun, dia secara berkelanjutan memberikan tiga bukti yang lain,yang terakhir pada 1849 yang dikenal sukar. Upayanya dalam mengklarifikasi konsep mengenai bilangan kompleks memang banyak dibicarakan (dari contoh bilangan irasional paling terkenal :,memecahnya dengan menempatkan minus pada satu tingkat dibawah sumbu imajiner dan x pada sumbu positif real,Gauss mengubah bilangan irasional yang sebelumnya dianggap bilangan antara ada dan tiada menjadi dapat diperhitungkan, lihat secara khusus polar kompleks).
Gauss juga memberikan kontribusi sangat penting bagi teori bilangan. Di dalam bukunya di tahun 1801, Disquisitiones Arithmeticae (bahasa Latin:, Investigasi Aritmetika), yang mana, dalam banyak hal, Gauss memperkenalkan penggunaan notasi ≡ untuk kekongruenan dan menggunakannya dalam presentasi yang baik di dalam aritmetika modular.

Abad ke-19 menyaksikan perkembangan cepat konsep bilangan imajiner di tangan Abraham de Moivre,dan secara khusus Leonhard Euler, yang menjadikannya lebih berdaya guna. Penyelesaian teori mengenai bilangan kompleks di abad ke-19 membedakan bilangan irasional menjadi bilangan aljabar dan transenden. Bukti keberadaan bilangan transenden, dan menjamurnya studi-studi saintifik mengenai teori bilangan irasional telah lama dipikirkan sejak Euclid. Tahun 1872 menyaksikan publikasi dari teori-teori dari Karl Weierstrass (oleh muridnya, Ernst Kossak), Eduard Heine (Crelle's Journal, 74), Georg Cantor (Annalen, 5), dan Richard Dedekind. Meray memulai pada 1869,sama dengan Heine, tetapi teorinya dikutip secara umum pada 1872.
Pecahan kontinyu, yang berhubungan dekat dengan bilangan irasional, mendapat perhatian di tangan Euler, dan akhirnya,fajar abad ke-19 benar-benar dibawa menuju keagungan lewat tulisan-tulisan Joseph Louis Lagrange. Dirichlet juga menambahkan dalam teori umumnya, seperti juga banyak sekali kontributor untuk penerapan mengenai subyek ini.

Bilangan irrasional juga merupakan bilangan real yang tidak bisa dibagi atau lebih tepatnya hasil baginya tidak pernah berhenti. Sehingga tidak bisa dinyatakan a/b.

Contoh :

π         =          3,141592653358…….. 

√2        =          1,4142135623……..

e          =          2,71828281284590…….

Contoh: log 2, e, √7, i

Refrensi :

http://aliyaramadonasman1.blogspot.com/2013/07/tugas-pengertian-dan-macam-macam_6143.html

http://rumus-ilmiah.blogspot.com/2014/02/pengertian-dan-contoh-bilangan-real.html

http://shadowz-space.blogspot.com/2012/03/macam-macam-bilangan-dalam-matematika.html